МЕТОДОЛОГІЧНІ АСПЕКТИ ПОБУДОВИ ТЕОРІЇ ДІЙСНИХ ЧИСЕЛ

УДК 510.21

О. М. Яковлєва, Т. В. Заболотня

Спроби обґрунтування теорії дійсних чисел почалося ще зі школи Піфагора.  Основним змістом піфагорійської математики було вчення про число. Числа у піфагорійців виступали основними універсальними об'єктами, до яких передбачалося зводити не тільки математичні побудови, але і все різноманіття дійсності.  Науці про числа приділось величезне місце в системі світогляду, фактично математика в школі Піфагора оголошувалась філософією. Особливе значення піфагорійці приписували числам у пізнанні філософської картини світу. За Філолаєм, «Число  є підстава оформленості та пізнаванності всього сущого. Все пізнанне має число. Бо без нього неможливо нічого ні зрозуміти, ні пізнати» [1].

Криза підстав грецької математики була породжена неспроможними спробами перенести структуру арифметики на геометрію. Кожне число відрізняється від будь-якого іншого числа характерними індивідуальними властивостями, геометрична ж лінія представляється у вигляді скупчення точок, рівноправних по відношенню одна к одній.  «Преодоление пропасти между областью дискретного и областью непрерывного, или между арифметикой и геометрией есть одна из главных, пожалуй, даже самая главная проблема оснований математики» − пишуть Френкель и Бар-Хиллел [3]. Піфагорійці вважали, що всі відрізки сумірні, тобто відношення будь-яких двох відрізків, а значить, й площ прямолінійних фігур, можна виразити відношенням натуральних чисел. Таким чином, метрична геометрія зводилась, за їхньою думкою, до арифметики раціональних чисел. Відкриття несумірних відрізків стало поворотним пунктом в розвитку математики. Воно зруйнувало систему піфагорійців й призвело до кризи в математиці. Відкриття несумірних відрізків означало, що натуральних чисел та їх відношень недостатньо для вираження відношень довжин будь-яких двох відрізків, що за допомогою одних лише раціональних чисел не можна будувати метричну геометрію.  Протилежність арифметики і геометрії рельєфно виступає вже у Аристотеля (384 р. до н.е. - 322 р. до н.е.) при аналізі поняття неперервності. Все неперервне подільне до нескінченності. Тому лінія не може складатися з точок як зі своїх частин, оскільки кожна частина лінії подільна в силу своєї неперервності.

Відкриття ірраціональних чисел стало центральною проблемою для давньогрецької математики. Ця проблема була ширшою, ніж проблема чисельного представлення довжин, площ та об’ємів, оскільки корені квадратних рівнянь, наприклад, рівняння х²–2=0, можуть бути ірраціональними числами. Греки розв’язували такі рівняння геометрично, тобто представляючи їх корені у вигляді відрізків, тим самим уникаючи необхідності звертатися до ірраціональних чисел. Вирішення проблеми запропонував Євдокс (408 р. до н.е. – 355 р. до н.е.) у своїй теорії відношень: поняття величини слід трактувати геометрично. Глибина  теорії Євдокса  стала зрозумілою після робіт Р. Дедекінда (1831 р. – 1916 р.). Між теоріями Євдокса та Дедекінда існує настільки глибока аналогія, що Ліпшіц питав в одному з листів, що ж  Дедекінд зробив нового порівняно з давнім.  Математики чітко усвідомлювали необхідність створення теорії  дійсних чисел для  обґрунтування математики.  Роботи математиків Р. Дедекінда, К. Вейерштрасса і Г. Кантора стосовно побудови теорії дійсного числа були опубліковані в  другій половині XIX століття.

В сучасній школі розширення знань учнів про число (від вивчених у початковій школі натуральних чисел до дійсних) відбувається в основній школі.  Лінія числових множин  вивчається в 5, 6, 8 класах. У 5-6 класах відбувається розширення множини натуральних чисел і нуля до множини раціональних і цілих чисел шляхом послідовного введення дробів (звичайних і десяткових), а також від’ємних чисел. У 8-9 класах завершується формування поняття дійсного числа. До відомих учням числових множин долучається множина ірраціональних чисел [2].

Введення ірраціональних чисел у шкільному курсі математики здійснюється за допомоги алгебраїчного підходу (8 кл.). Показується, що не з усіх раціональних чисел можна добути квадратний корінь, тому не всі квадратні рівняння мають раціональні корені. Існування ірраціональних чисел  доводиться графічно та геометрично на оглядовому рівні. В деяких підручниках у якості додаткового матеріалу йде мова про сумірні та несумірні величини, розповідається історія виникнення поняття  ірраціональних чисел. Окремо вивчається змістова ліній десяткових дробів. Але через те, що для загальноосвітнього рівня навчання на вивчення множини ірраціональних та дійсних чисел та їх властивостей відводиться дуже мало годин, матеріал розірвано по декільком класам 5-9, учні в більшості  не засвоюють поняття множини дійсних чисел, не розуміють відмінностей між раціональними та ірраціональними числами. 

Список використаних джерел:

1. Асмус В.Ф.Античная философия. – М.: Высшая школа, 1976.  
2. Математика 5-9 класи «Навчальна програма для загальноосвітніх навчальних закладів» – М. І. Бурда, Б. В. Кудренко, О. Я. Біляніна, А. І. Азаренкова, О. І. Буковська, Т. С. Кіндюх, О. Є. Лисенко, А. В. Миляник, Н. В. Панова, А. В. Паньков, 2017.
3. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. – М.: Мир, 1966.